Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\left( {{x^2} + \dfrac{1}{2}} \right)^{2{x^2} + x + 1}} \le {\left( {{x^2} + \dfrac{1}{2}} \right)^{1 - x}}\) là

Chỉ điền số nguyên, phân số dạng a/b

Đáp án:

Ta có: \({x^2} + \dfrac{1}{2} > 0\) nên

\({\left( {{x^2} + \dfrac{1}{2}} \right)^{2{x^2} + x + 1}} \le {\left( {{x^2} + \dfrac{1}{2}} \right)^{1 - x}}\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + \dfrac{1}{2} = 1\\\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + \dfrac{1}{2} > 1\\2{x^2} + x + 1 \le 1 - x\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0 < {x^2} + \dfrac{1}{2} < 1\\2{x^2} + x + 1 \ge 1 - x\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm \dfrac{1}{2}\\\left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { - \infty ; - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) \cup \left( {\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right)\\x \in \left[ { - 1;0} \right]\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }};\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\\x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {0; + \infty } \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm \dfrac{1}{2}\\x \in \left[ { - 1; - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\\x \in \left[ {0;\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1; - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right] \cup \left[ {0;\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right]\)

Các nghiệm nguyên là -1 và 0

Vậy có 2 nghiệm nguyên