Phương trình $\tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) + 2\tan \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) = 1$ có nghiệm là:

Bước 1:

Ta có: $\tan \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right) + 2\tan \left( {2x + \dfrac{\pi }{2}} \right) = 1$$\Leftrightarrow \cot x - 2\cot 2x = 1$

ĐK: $\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\sin 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 2x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{{k\pi }}{2}$

Bước 2:

Khi đó phương trình tương đương:

$\begin{array}{l}\cot x - 2\cot 2x = 1 \\ \Leftrightarrow \cot x - 2.\dfrac{{1 - {{\tan }^2}x}}{{2\tan x}} = 1 \\ \Leftrightarrow \cot x - \dfrac{{\tan x.\cot x - {{\tan }^2}x}}{{\tan x}} = 1\\ \Leftrightarrow \cot x - \left( {\cot x - \tan x} \right) = 1 \Leftrightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in Z} \right)\left( {TMDK} \right)\end{array}$