Phương trình đường tròn (C) có bán kính lớn nhất  đi qua \(M(4;2)\) và tiếp xúc với 2 trục tọa độ là:

Giả sử đường tròn (C) có tâm \(I\left( {a,b} \right)\)

\(\left( C \right)\) tiếp xúc \({\rm{Ox}}, Oy \Rightarrow R = d\left( {I,{\rm{Ox}}} \right) = d\left( {I,Oy} \right) \Rightarrow R = \left| b \right| = \left| a \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a =  - b\end{array} \right.\)

Vì đường tròn (C)  đi qua \(M\left( {4;2} \right)\) nên ta có \(R = IM = \sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} \)

TH1: Nếu \(a = b\), ta có  \(\sqrt {{{\left( {a - 4} \right)}^2} + {{\left( {a - 2} \right)}^2}}  = \left| a \right|\)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {2{a^2} - 12a + 20}  = \left| a \right| \Leftrightarrow 2{a^2} - 12a + 20 = {a^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} - 12a + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 10\\a = 2\end{array} \right.\end{array}$

TH2: Nếu \(a =  - b\), ta có  \(\sqrt {{{\left( { - b - 4} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}}  = \left| b \right|\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {2{b^2} + 4b + 20}  = \left| b \right| \Leftrightarrow 2{b^2} + 4b + 20 = {b^2} \Leftrightarrow {b^2} + 4b + 20 = 0\,\,\,\left( * \right)\)

Phương trình (*) vô nghiệm.

Vì (C) có bán kính lớn  nhất nên chọn \(R = \left| a \right| = 10\)

\(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {10;10} \right);\,\,R = 10 \Rightarrow \left( C \right): {\left( {x - 10} \right)^2} + {\left( {y - 10} \right)^2} = 100\)