Một xưởng sản xuất những thùng bằng nhôm hình hộp chữ nhật không nắp và có các kích thước \(x,{\rm{ }}y,{\rm{ }}z\left( {dm} \right)\). Biết tỉ số hai cạnh đáy là \(x:y = 1:3\), thể tích khối hộp bằng 18\(d{m^3}\). Để tốn ít vật liệu nhất thì tổng x+y+z bằng bao nhiêu dm?
Chỉ điền số nguyên, phân số dạng a/b
Đáp án:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án:
Ta có: \(x:y = 1:3\)=> y=3x
Ta có: \(x.y.z = 18 \Leftrightarrow x.3x.z = 18\)
=>\(z = \dfrac{6}{{{x^2}}}\)
Tổng diện tích vật liệu cần dùng là:
\({S_{tp}} = {S_{day}} + {S_{xq}} = xy + 2\left( {xz + yz} \right)\)\( = 3{x^2} + \dfrac{{48}}{x} = f\left( x \right)\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + \dfrac{{48}}{x}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\), ta được \(f\left( x \right)\) nhỏ nhất khi \(x = 2\)
Khi \(x = 2\) thì \(y = 6,z = \dfrac{3}{2} \Rightarrow x + y + z = \dfrac{{19}}{2}dm\)
Hướng dẫn giải:
- Biểu diễn y theo x
- Biểu diễn z theo x
- Tính diện tích vật liệu cần dùng.
Giải thích thêm:
Cách 2:
Sử dụng BĐT Cauchy
\( = 3{x^2} + \dfrac{{48}}{x} = 3.\left( {{x^2} + \dfrac{{16}}{x}} \right)\)\( = 3.\left( {{x^2} + \dfrac{8}{x} + \dfrac{8}{x}} \right)\)\( \ge 3.3\sqrt[3]{{{x^2}.\dfrac{8}{x}.\dfrac{8}{x}}} = 36\)
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{8}{x} = \dfrac{8}{x} \Leftrightarrow x = 2\)