Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm

• Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40 nghìn;
• Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 nghìn.

Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất?

Gọi $x \ge 0,{\rm{ }}y \ge 0\,{\rm{ }}\left( {{\rm{kg}}} \right)$ lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất.

Khi đó, tổng số nguyên liệu sử dụng: \(2x + 4y \le 200.\)

Tổng số giờ làm việc: \(30x + 15y \le 1200.\)

Lợi nhuận tạo thành: \(L = 40x + 30y\) (nghìn).

Ta tìm \(x,y\) thỏa mãn hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0,y \ge 0\\2x + 4y \le 200\\30x + 15y \le 1200\end{array} \right.\) sao cho \(L = 40x + 30y\) đạt giá trị lớn nhất.

Giải từng hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right. \Rightarrow O\left( {0;0} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\2x + 4y = 200\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 50\end{array} \right.\)\( \Rightarrow B\left( {0;50} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\30x + 15y = 1200\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 80\end{array} \right.\)\( \Rightarrow C\left( {0;80} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\2x + 4y = 200\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 100\\y = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow D\left( {100;0} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\30x + 15y = 1200\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 40\end{array} \right.\)\( \Rightarrow E\left( {0;40} \right)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + 4y = 200\\30x + 15y = 1200\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 20\\y = 40\end{array} \right.\) \( \Rightarrow F\left( {20;40} \right)\).

Thay tọa độ các điểm \(O,B,C,D,E,F\) vào biểu thức \(O,B,E,F\) thỏa mãn.

Tính giá trị \(L\) tại các điểm \(O,B,E,F\) ta thấy tại \(F\left( {20;40} \right)\) thì \(L\) đạt GTLN và \(L = 2000\).