Một công ty Y cần thuê xe để chở 140 người và 9 tấn hàng. Nơi thuê xe có 2 loại xe, trong đó có 10 xe loại \(A\) và 9 xe loại \(B\). Một chiếc xe loại \(A\) cho thuê với giá 4 triệu, một chiếc xe loại \(B\) cho thuê với giá 3 triệu. Biết rằng mỗi xe loại \(A\) có thể chở 20 người và 0,6 tấn hàng; mỗi xe loại \(B\) có thể chở tối đa 10 người và 1,5 tấn Công ty X cần thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí bỏ ra ít nhất?

Bước 1: Gọi x và y lần lượt là số loại xe A và B cần thuê. Biểu diễn các đại lượng khác theo x và y

Gọi x và y lần lượt là số loại xe A và B cần thuê. Khi đó số tiền cần bỏ ra để thuê xe là \(f(x;y) = 4x + 3y\) (triệu).

Ta có \(x\) xe loại \(A\) sẽ chở được 20x người và 0,3x tấn hàng; \(y\) xe loại \(B\) sẽ chở được 10y người và 1,5y  tấn hàng.

Bước 2: Lập hệ bất phương trình

Ta có hệ bất phương trình sau

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{20x + 10y \ge 140}\\{0,6x + 1,5y \ge 9}\\{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y \ge 14}\\{2x + 5y \ge 30}\\{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\end{array}(*)} \right.\)

Bước 3: Biểu diễn tập nghiệm.

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x;y)\) trên miền nghiệm của hệ \((*)\). Miền nghiệm của hệ \((*)\) là tứ giác ABCD (kể cả biên).

Bước 4: Tìm x và y.

Hàm số \(f(x;y) = 4x + 3y\) sẽ đạt giá trị nhỏ nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình \((*)\) khi \((x;y)\) là tọa độ của một trong các đỉnh \(A(5;4)\), \(B(10;2),C(10;9);D\left( {\dfrac{5}{2};9} \right)\).

Ta có \(f(5;4) = 32;f(10;2) = 46;\)

\(f(10;9) = 67;f\left( {\dfrac{5}{2};9} \right) = 37.\)

Suy ra \(f(x;y)\) nhỏ nhất khi \((x;y) = (5;4)\). Như vậy để chi phí vận chuyển thấp nhất cần thuê 5 xe loại \({\rm{A}}\) và 4 xe loại \({\rm{B}}\).