Gọi \(S\) là tập hợp các nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;100\pi } \right)\) của phương trình \({\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 3\). Tổng các phần tử của \(S\) là
Trả lời bởi giáo viên
Ta có \({\left( {\sin \dfrac{x}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right)^2} + \sqrt 3 \cos x = 3\)\( \Leftrightarrow 1 + \sin x + \sqrt 3 \cos x = 3\)\( \Leftrightarrow \sin x + \sqrt 3 \cos x = 2\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\cos x = 1\)\( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Theo đề bài cho ta có \(0 < x < 100\pi \)\( \Leftrightarrow 0 < \dfrac{\pi }{6} + k2\pi < 100\pi \)\( \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{12}} < k < \dfrac{{599}}{{12}}\)
Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3;4,....;48;49} \right\}\)
Vậy \(S = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{\pi }{6} + 2\pi + \dfrac{\pi }{6} + 2 \times 2\pi + ...... + \dfrac{\pi }{6} + 49 \times 2\pi \)\( = \dfrac{{50\pi }}{6} + 2\pi \left( {1 + 2 + 3 + 4 + ..... + 49} \right)\)
\( = \dfrac{{50\pi }}{6} + 2\pi \dfrac{{49\left( {49 + 1} \right)}}{2} = \dfrac{{7375\pi }}{3}\).
Hướng dẫn giải:
- Biến đổi phương trình về phương trình thuần nhất đối với \(\sin x,\cos x\)
- Giải phương trình tìm nghiệm thuộc \(\left( {0;100\pi } \right)\) và kết luận.