Gọi S là tập các số tự nhiên gồm 9 chữ số được lập từ tập $X = \left\{ {6;7;8} \right\},$ trong đó chữ số 6 xuất hiện 2 lần, chữ số 7 xuất hiện 3 lần, chữ số 8 xuất hiện 4 lần. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S; tính xác suất để số được chọn là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6.

+ Số cách sắp xếp 2 chữ số 6 vào 9 vị trí là $C_9^2$

+ Số cách sắp xếp 3 chữ số 7 vào 7 vị trí còn lại là $C_7^3$

+ Số cách sắp xếp 4 chữ số 8 vào 4 vị trí còn lại là $C_4^4$

Số phần tử của tập S là $n\left( \Omega  \right) = C_9^2.C_7^3.C_4^4 = 1260$

Gọi A là biến cố “Số được chọn ra từ tập S là số không có chữ số 7 đứng giữa hai chữ số 6”

TH1: Ta xét 2 chữ số 6 thành 1 cặp, ta sẽ sắp xếp cặp này với các chữ số còn lại

Số cách sắp xếp là $C_8^1.C_7^3.C_4^4 = 280$ cách

TH2: Ta xếp chữ số 8 đứng giữa hai chứ số 6.

Cách 1: Có 1 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi $686$ là 1 cụm thì có $7$ cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có $C_6^3$ cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và $C_3^3$ cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có $7.C_6^3.C_3^3 = 140$ số

Cách 2:  Có 2 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi $6886$ là 1 cụm thì có $6$ cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có $C_5^2$ cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và $C_3^3$ cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có $6.C_5^2.C_3^3 = 60$ số

Cách 3: Có 3 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi $68886$ là 1 cụm thì có $5$ cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có $C_4^1$ cách sắp xếp 3 chữ số 8 còn lại và $C_3^3$ cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có $5.C_4^1.C_3^3 = 20$ số

Cách 4: Có 4 số 8 đứng giữa hai số 6, khi đó có coi $688886$ là 1 cụm thì có $4$ cách sắp xếp cụm này vào số có 9 chữ số,  có $C_3^3$ cách sắp xếp 3 chữ số 7.

Vậy có $4C_3^3 = 4$ số

Vậy biến cố A có $280 + 140 + 60 + 20 + 4 = 504$ phần tử

Xác suất cần tìm là $P\left( A \right) = \dfrac{{504}}{{1260}} = \dfrac{2}{5}$