Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a\). Mệnh đề nào sau đây là sai?   

Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

\( \bullet \) Xác định được góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\) là góc \(\widehat A\) nên \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {60^0}.\)

Do đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)\)\( = a.a.cos{60^0} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\) . A đúng.

\( \bullet \) Xác định được góc \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)\) là góc ngoài của góc \(\widehat C\) nên \(\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = {120^0}.\)

Do đó \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CB}  = AC.CB.cos\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)\)\( = a.a.cos{120^0} =  - \dfrac{{{a^2}}}{2}\) . B đúng.

\( \bullet \) Xác định được góc \(\left( {\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GB} } \right)\) là góc \(\widehat {AGB}\) nên \(\left( {\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GB} } \right) = {120^0}.\)

Do đó \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GB}  = GA.GB.cos\left( {\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GB} } \right)\)\( = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.cos{120^0} =  - \dfrac{{{a^2}}}{6}\) . C sai.

\( \bullet \) Xác định được góc \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AG} } \right)\) là góc \(\widehat {GAB}\) nên \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AG} } \right) = {30^0}.\)

Do đó \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AG}  = AB.AG.cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AG} } \right)\)\( = a.\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}.cos{30^0} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\). D đúng.