Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
ĐKXĐ: \(\cos 5x \ne 0 \Leftrightarrow 5x \ne \dfrac{\pi }{2} + m\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{{m\pi }}{5}\,\,\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\cos 3x\tan 5x = \sin 7x\\ \Leftrightarrow \cos 3x\sin 5x = \sin 7x\cos 5x\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\sin 8x + \sin 2x} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 12x + \sin 2x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin 8x + \sin 2x = \sin 12x + \sin 2x\\ \Leftrightarrow \sin 12x = \sin 8x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}12x = 8x + k2\pi \\12x = \pi - 8x + k2\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{2}\\x = \dfrac{\pi }{{20}} + \dfrac{{k\pi }}{{10}}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)
Đối chiếu điều kiện ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{k\pi }}{2} \ne \dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{{m\pi }}{5}\,\,\left( {k,\,\,m \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow 5k \ne 1 + 2m\\ \Leftrightarrow k \ne \dfrac{{1 + 2m}}{5}\end{array}\)
Do \(k \in \mathbb{Z}\) nên: \(k = \dfrac{{1 + 2m}}{5} \Leftrightarrow \dfrac{{1 + 2m}}{5}\) là số nguyên. Mà \(1 + 2m\) luôn lẻ nên \(\dfrac{{1 + 2m}}{5}\) không chia hết cho 2 với mọi \(m\). Do đó, nếu \(k \ne \dfrac{{1 + 2m}}{5}\) thì \(k\) phải là số nguyên chẵn.
\( \Rightarrow k\) chẵn, đặt \(k = 2n\), khi đó ta có \(x = \dfrac{{2n\pi }}{2} = n\pi \) \(\left( {n \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{\pi }{{20}} + \dfrac{{k\pi }}{{10}} \ne \dfrac{\pi }{{10}} + \dfrac{{m\pi }}{5}\,\,\left( {k,\,\,m \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow 1 + 2k \ne 2 + 4m\end{array}\)
Vì \(1 + 2k\) lẻ, \(2 + 4m\) chẵn nên \(1 + 2k \ne 2 + 4m\) luôn đúng với mọi \(k,\,\,m \in \mathbb{Z}\).
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: \(x = n\pi ;\,\,x = \dfrac{\pi }{{20}} + \dfrac{{k\pi }}{{10}}\,\,\left( {k,\,\,n \in \mathbb{Z}} \right)\).
Hướng dẫn giải:
- Tìm ĐKXĐ.
- Sử dụng công thức \(\tan 5x = \dfrac{{\sin 5x}}{{\cos 5x}}\).
- Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng: \(\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {sin\left( {a + b} \right) + sin\left( {a - b} \right)} \right]\).
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Câu hỏi khác
- Bài tập phần phương trình lượng giác cơ bản thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần các hàm số lượng giác thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần công thức biến đổi lượng giác thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập phần giá trị lượng giác của một góc (cung) lượng giác thi ĐGTD Bách khoa
- Bài tập giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt thi ĐGTD Bách khoa có lời giải
