Câu hỏi:
2 năm trước
Giả sử rằng \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\tan xdx}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} = m\ln \dfrac{3}{2}\). Tìm giá trị của m.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Đặt \(\cos x = \tan a \Leftrightarrow - \sin xdx = \left( {1 + {{\tan }^2}a} \right)da\)
Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{\pi }{4}\\x = \dfrac{\pi }{4} \Leftrightarrow a = \arctan \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\), khi đó ta có: \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\tan xdx}}{{1 + {{\cos }^2}x}}} = \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^{\arctan \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} {\dfrac{{ - \left( {1 + {{\tan }^2}a} \right)da}}{{\tan a\left( {1 + {{\tan }^2}a} \right)}}} = \int\limits_{\arctan \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\cos ada}}{{\sin a}}} \)
Đặt \(u = \sin a \Leftrightarrow du = \cos ada\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{\pi }{4} \Leftrightarrow u = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\a = \arctan \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow u = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.\) , khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}^{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} {\dfrac{{du}}{u}} = \left. {\ln u} \right|_{\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}}^{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} = \ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} - \ln \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \ln \dfrac{{\sqrt 6 }}{2} = \dfrac{1}{2}\ln {\left( {\dfrac{{\sqrt 6 }}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{3}{2}\\ \Rightarrow m = \dfrac{1}{2}\end{array}\)
Hướng dẫn giải:
Đặt \(\cos x = \tan a\)
Câu hỏi khác
- Đề thi kiểm tra giữa học kì 1 - Đề số 5 Toán 12 có lời giải chi tiết
- Đề thi kiểm tra giữa học kì 1 - Đề số 2 Toán 12 có lời giải chi tiết
- Đề thi kiểm tra giữa học kì 1 - Đề số 1 Toán 12 có lời giải chi tiết
- Đề thi kiểm tra giữa học kì 1 - Đề số 3 Toán 12 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra giữa học kì 2 đề số 2 Toán 12 có lời giải chi tiết
