Xét các số thực dương \(a\) và \(b\) thỏa mãn \({\log _3}\left( {1 + ab} \right) = \dfrac{1}{2} + {\log _3}\left( {b - a} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}}{{a\left( {a + b} \right)}}\) bằng:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}b - a > 0\\a,\,\,b > 0\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _3}\left( {1 + ab} \right) = \dfrac{1}{2} + {\log _3}\left( {b - a} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 + ab} \right) - {\log _3}\left( {b - a} \right) = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow {\log _3}\dfrac{{1 + ab}}{{b - a}} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{1 + ab}}{{b - a}} = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow 1 + ab = \sqrt 3 \left( {b - a} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} + b = \sqrt 3 \left( {\dfrac{b}{a} - 1} \right)\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có \(\dfrac{1}{a} + b \ge 2\sqrt {\dfrac{b}{a}} \) nên

\(\sqrt 3 \left( {\dfrac{b}{a} - 1} \right) \ge 2\sqrt {\dfrac{b}{a}}  \Leftrightarrow \sqrt 3 \dfrac{b}{a} - 2\sqrt {\dfrac{b}{a}}  - \sqrt 3  \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {\dfrac{b}{a}}  \ge \sqrt 3 \\\sqrt {\dfrac{b}{a}}  \le  - \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\,\,\left( {Loai} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \sqrt {\dfrac{b}{a}}  \ge \sqrt 3  \Leftrightarrow \dfrac{b}{a} \ge 3\)

Ta có: \(P = \dfrac{{\left( {1 + {a^2}} \right)\left( {1 + {b^2}} \right)}}{{a\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{1 + {a^2} + {b^2} + {a^2}{b^2}}}{{a\left( {a + b} \right)}}\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có \(1 + {a^2}{b^2} \ge 2\sqrt {{a^2}{b^2}}  = 2ab\) nên \(1 + {a^2} + {b^2} + {a^2}{b^2} \ge {a^2} + {b^2} + 2ab = {\left( {a + b} \right)^2}\).

\( \Rightarrow P = \dfrac{{1 + {a^2} + {b^2} + {a^2}{b^2}}}{{a\left( {a + b} \right)}} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{a\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{a + b}}{a} = 1 + \dfrac{b}{a} \ge 4\).

Vậy \({P_{\min }} = 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{a} = b\\\dfrac{b}{a} = 3\\a,\,\,b > 0,\,\,b - a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{a} = 3a\\b = 3a\\a,\,\,b > 0,\,\,b - a > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\\b = \sqrt 3 \end{array} \right.\).