Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn x2+y2=2,y>0 và parabol y=x2 bằng:
Trả lời bởi giáo viên
x2+y2=2(y>0)⇔y=√2−x2
+ Hoành độ giao điểm của 2 đường là nghiệm của phương trình:
√2−x2=x2⇔x4+x2−2=0⇔[x2=1x2=−2(L)⇔x=±1
+ Với −1≤x≤1 thì
x2≤1⇒x4≤1⇒x4+x2−2=(x4−1)+(x2−1)≤0
⇒0≤x4≤2−x2⇒x2≤√2−x2
⇒x2−√2−x2≤0⇒|√2−x2−x2|=√2−x2−x2
+ Diện tích hình phẳng là:
S=1∫−1|√2−x2−x2|dx=1∫−1(√2−x2−x2)dx=1∫−1√2−x2dx−1∫−1x2dx
+ Với I1=1∫−1√2−x2dx
Đặt x=√2sinu⇒dx=√2cosudu
Khi x=−1⇒u=−π4
x=1⇒u=π4
Do đó I1=π4∫−π4√2−2sin2u.√2cosudu=π4∫−π42cos2udu=π4∫−π4(1+cos2u)du
=u|π4−π4+12sin2u|π4−π4=π4+π4+12sinπ2−12sin(−π2)=π2+1
+ Với I2=1∫−1x2dx=13x3|1−1=13+13=23
⇒S=I1−I2=π2+1−23=π2+13
Hướng dẫn giải:
- Bước 1: Giải phương trình f(x)=g(x) tìm nghiệm.
- Bước 2: Phá dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức |f(x)−g(x)|
- Bước 3: Tính diện tích hình phẳng theo công thức tích phân S=b∫a|f(x)−g(x)|dx