Đề thi THPT QG - 2021 - mã 102

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) với \(a,b,c\) là các số thực. Biết hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right) + f''\left( x \right)\) có hai giá trị cực trị là \( - 4\) và \(2.\) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}\) và \(y = 1\) bằng        

Xét hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right) + f''\left( x \right)\)

Ta có: \(g'\left( x \right) = f'\left( x \right) + f''\left( x \right) + f'''\left( x \right) = f'\left( x \right) + f''\left( x \right) + 6\)

Theo giả thiết ta có phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) có hai nghiệm \(m,n\) và \(\left\{ \begin{array}{l}g\left( m \right) =  - 4\\g\left( n \right) = 2\end{array} \right.\)

Xét phương trình \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}} = 1 \Rightarrow g\left( x \right) + 6 - f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) + f''\left( x \right) + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = n\end{array} \right.\)

Diện tích hình phẳng cần tính là:

\(\left| {\int\limits_m^n {\left( {1 - \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}} \right)dx} } \right| = \left| {\int\limits_m^n {\dfrac{{g\left( x \right) + 6 - f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}dx} } \right| = \left| {\int\limits_m^n {\dfrac{{f'\left( x \right) + f''\left( x \right) + 6}}{{g\left( x \right) + 6}}dx} } \right|\) \( = \left| {\int\limits_m^n {\dfrac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}dx} } \right|\)

\( = \left| {\ln \left| {g\left( x \right) + 6} \right|_m^n} \right| = \left| {\ln \left| {g\left( n \right) + 6} \right| - \ln \left| {g\left( m \right) + 6} \right|} \right| = \left| {\ln 8 - \ln 2} \right| = 2\ln 2.\)