Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,x + 2y + z - 4 = 0\). Hình chiếu vuông góc của \(d\) trên \(\left( P \right)\) là đường thẳng có phương trình: 

* Nhận thấy \(I\left( {0;1;2} \right) \in d\) và cũng thuộc \(\left( P \right)\).

\( \Rightarrow d \cap \left( P \right) = I\left( {0;1;2} \right)\).

Gọi \(d'\) là hình chiếu của \(d\) trên \(\left( P \right) \Rightarrow I \in d'\).

* Lấy \(A\left( {1;2;1} \right) \in d\).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left( {1;2;1} \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 1 + t\end{array} \right.\).

Gọi \(H = \Delta  \cap \left( P \right) \Rightarrow H \in \Delta  \Rightarrow H\left( {1 + t;\,\,2 + 2t;\,\,1 + t} \right)\).

Mà \(H \in \left( P \right) \Rightarrow \left( {1 + t} \right) + 2\left( {2 + 2t} \right) + \left( {1 + t} \right) - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow 6t + 2 = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{1}{3}\).

\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3}} \right)\).

* \(d'\) là đường thẳng đi qua \(I\) và \(H\).

Ta có \(\overrightarrow {IH}  = \left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}; - \dfrac{4}{3}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{u_{d'}}}  = 3\overrightarrow {IH}  = \left( {2;1; - 4} \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(d':\,\,\dfrac{x}{2} = \dfrac{{y - 1}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 4}}\).