Đề thi THPT QG - 2021 - mã 101

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 5\,\,\,\,\,khi\,\,x \ge 1\\3{x^2} + 4\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\) . Giả sử \(F\) là nguyên hàm của \(f\) trên R thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 2\). Giá trị của \(F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\) bằng

Cách 1: Không đi tìm hàm \(F\left( x \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right)\\\,\,\,\,\, = \left[ {F\left( { - 1} \right) - F\left( 0 \right)} \right] + 2\left[ {F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)} \right] + 3F\left( 0 \right)\\\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)dx}  + 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  + 3F\left( 0 \right)\end{array}\)

(Hàm số \(F\left( x \right)\) là hàm số thay đổi công thức tại \(x = 1\), nhưng liên tục tại \(x = 1\), nên việc ta khẳng định \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}  = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)\) là hoàn toàn chặt chẽ bản chất và việc phân đoạn tích phân vẫn đúng).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = \int\limits_0^{ - 1} {f\left( x \right)dx}  + 2\left[ {\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} } \right] + 3.2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{ - 1} {\left( {3{x^2} + 4} \right)dx}  + 2\left[ {\int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + 4} \right)dx}  + \int\limits_1^2 {\left( {2x + 5} \right)dx} } \right] + 6\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 27\end{array}\)

Cách 2: Tìm hàm \(F\left( x \right)\).

\(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}2x + 5\\3{x^2} + 4\end{array} \right. \Rightarrow F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx}  = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + {C_1}\,\,khi\,\,x \ge 1\\{x^3} + 4x + {C_2}\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\).

+ Vì \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow {0^3} + 4.0 + {C_2} = 2 \Leftrightarrow {C_2} = 2\).

+ Theo giả thiết, \(F\left( x \right)\) là hàm số tồn tại đạo hàm trên \(\mathbb{R}\).

\( \Rightarrow F\left( x \right)\) tồn tại đạo hàm tại \(x = 1 \Rightarrow F\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 1\).

\( \Rightarrow F\left( {{1^ + }} \right) = F\left( {{1^ - }} \right) = F\left( 1 \right) \Rightarrow 1 + 5 + {C_1} = 1 + 4 + {C_2}\) \( \Rightarrow {C_1} =  - 1 + {C_2} = 1\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + 1\,\,khi\,\,x \ge 1\\{x^3} + 4x + 2\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\left( { - 1} \right) = {\left( { - 1} \right)^3} + 4.\left( { - 1} \right) + 2 =  - 3\\F\left( 2 \right) = {2^2} + 5.2 + 1 = 15\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = F\left( { - 1} \right) + 2F\left( 2 \right) =  - 3 + 2.15 = 27\end{array}\)