Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104

Trong không gian \(Oxyz,\) cho hai điểm \(A\left( { - 2;1; - 3} \right)\) và \(B\left( {1; - 3;2} \right)\). Xét hai điểm \(M\) và \(N\) thay đổi thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(MN = 3.\) Giá trị lớn nhất của \(\left| {AM - BN} \right|\) bằng

Ta thấy \({z_A}.{z_B} < 0\) nên \(A,B\) nằm khác phía so với mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right).\)

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(\left( {Oxy} \right)\)\( \Rightarrow A'\left( { - 2;1;3} \right)\).

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A'\) trên \(\left( {Oxy} \right) \Rightarrow H\left( { - 2;1;0} \right)\)

Gọi \(I\) là hình chiếu của \(B\) trên \(\left( {Oxy} \right) \Rightarrow I\left( {1; - 3;0} \right)\)

Suy ra \(HI = 5\)

Khi đó \(P = \left| {AM - BN} \right| = \left| {A'M - BN} \right|\)                                                   \(\left( 1 \right)\)

Gọi \({A_1}\) là điểm sao cho \(\overrightarrow {{A_1}A'}  = \overrightarrow {NM} \)

Do \(MN = 3\) nên \({A_1}\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(A'\) bán kính bằng \(3.\)

Khi đó \({A_1}A'MN\) là hình bình hành \( \Rightarrow A'M = {A_1}N\)                             \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta suy ra \(P \le {A_1}B\)

\( \Rightarrow {P_{\max }} = {A_1}B\) khi \({A_1},B,N\) thẳng hàng với \(N\) là giao điểm của \({A_1}B\) và \(\left( {Oxy} \right)\)

Khi đó \({A_1}B\) có giá trị lớn nhất khi \({A_1}\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(A'\) bán kính bằng \(3.\)

\({P_{\max }} = {A_1}B\) max \( = \sqrt {K{B^2} + {A_1}{K^2}} \)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A'H = 3\\d\left( {B,\left( {Oxy} \right)} \right) = 2\end{array} \right. \Rightarrow BK = 1\)

Và \({A_1}K = A'{A_1} + A'K = {A_1}B' + HI = 3 + 5 = 8\)

\( \Rightarrow {P_{\max }} = \sqrt {{1^2} + {8^2}}  = \sqrt {65} \)