Đề thi THPT QG – 2021 lần 1– mã 104

Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 1}}{2}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z + 2 = 0\). Hình chiếu vuông góc của \(d\) trên \(\left( P \right)\) là đường thẳng có phương trình: 

Gọi giao điểm của \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là điểm \(I.\)

Do \(I \in d \Rightarrow I\left( {t; - t;1 + 2t} \right)\). Mà \(I \in \left( P \right)\)

\( \Rightarrow t - 2t - 2\left( {1 + 2t} \right) + 2 = 0 \Rightarrow  - 5t = 0 \Rightarrow t = 0 \Rightarrow I\left( {0;0;1} \right)\)

Lấy \(A\left( {1; - 1;3} \right) \in d\).Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với \(\left( P \right) \Rightarrow {\overrightarrow u _\Delta } = {\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1;2; - 2} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 + 2t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.\)

Gọi \(H\) là giao điểm của \(\Delta \) và \(\left( P \right)\)\( \Rightarrow H\left( {1 + t; - 1 + 2t;3 - 2t} \right)\)

Mà \(H \in \left( P \right) \Rightarrow 1 + t + 2\left( { - 1 + 2t} \right) - 2\left( {3 - 2t} \right) + 2 = 0\)\( \Rightarrow 9t = 5 \Rightarrow t = \dfrac{5}{9}\)\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{{14}}{9};\dfrac{1}{9};\dfrac{{17}}{9}} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {IH}  = \left( {\dfrac{{14}}{9};\dfrac{1}{9};\dfrac{8}{9}} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(d'\) qua \(I\) và nhận \(9\overrightarrow {IH} \) làm vtcp: \(\dfrac{x}{{14}} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{8}\)