Có bao nhiêu số nguyên \(y\) sao cho tồn tại \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\) thỏa mãn \({27^{3{x^2} + xy}} = \left( {1 + xy} \right){27^{15x}}\)

* pt \( \Leftrightarrow 27{\,^{3{x^2} + xy - 15x}} = xy + 1\).

\( \Rightarrow xy + 1 > 0 \Leftrightarrow y >  - \dfrac{1}{x}\), khi \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\) \( \Rightarrow y >  - 3\) thì mới tồn tại \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\).

\( \Rightarrow \) Ta chặn được \(y >  - 3\) => \(y \ge  - 2\).

* \(pt \Leftrightarrow {27^{3{x^2} + xy - 15x}} - xy - 1 = 0\).

Đặt \(f\left( x \right) = g\left( y \right) = {27^{3{x^2} + xy - 15x}} - xy - 1\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = {3^{y - 14}} - \dfrac{y}{3} - 1\\f\left( 5 \right) = {27^{5y}} - 5y - 1\end{array} \right.\).

Nhận thấy ngay \(f\left( 5 \right) \ge 0\,\,\forall y \in \mathbb{Z}\), chỉ bằng 0 tại \(y = 0\).

+ Xét \(y = 0 \Rightarrow \) thay vào phương trình ban đầu \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 5\end{array} \right.\), loại vì không có nghiệm thuộc \(\left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\).

+ Xét \(y \ne 0 \Rightarrow f\left( 5 \right) > 0\,\,\forall x \in {\mathbb{Z}^*}\).

1) Ta Table khảo sát \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l}Start:\,\,y =  - 2\\End:\,\,y = 17\\Step:\,\,\, = 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;15} \right\}\).

\( \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{3}} \right).f\left( 5 \right) < 0\,\,\forall y \in \left\{ { - 2; - 1;1;2;...;15} \right\}\)

\( \Rightarrow \) Có 17 giá trị của \(y\) để tồn tại nghiệm \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\).

2) Từ bảng Table ta nhận thấy khi \(y \ge 16\) thì \(f\left( {\dfrac{1}{3}} \right) > 0\) và đồng biến.

Ta đi chứng minh khi \(y \ge 16\) thì phương trình vô nghiệm.

\(g'\left( y \right) = x\left( {{{27}^{3{x^2} + x\left( {y - 15} \right)}}.\ln 27 - 1} \right) > 0\,\,\left\{ \begin{array}{l}\forall y \ge 16\\x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow g\left( y \right) \ge g\left( {16} \right) = {27^{3{x^2} + x}} - 16x - 1 = h\left( x \right)\).

Ta có \(h'\left( x \right) = {27^{3{x^2} + x}}\left( {6x + 1} \right)\ln 27 - 16 > 0\,\,\forall x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\).

\( \Rightarrow h\left( x \right) > h\left( {\dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{8}{3} > 0\).

\( \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm với \(x \in \left( {\dfrac{1}{3};5} \right)\).

Vậy đáp số có 17 giá trị nguyên của \(y\).