Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \dfrac{{x - {m^2} - 2}}{{x - m}}\) trên đoạn \(\left[ {0;\,4} \right]\) bằng \( - 1.\)

ĐK : \(x \ne m\)

Ta có \(y' = \dfrac{{{m^2} - m + 2}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\)  nhận thấy\({m^2} - m + 2 = {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0;\,\forall m\)  nên \(y' > 0;\,\forall m\)

Hay hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.

Để hàm số đạt GTLN trên \(\left[ {0;4} \right]\) thì \(m \notin \left[ {0;4} \right] \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 4\end{array} \right.\)

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} y = y\left( 4 \right) = \dfrac{{4 - {m^2} - 2}}{{4 - m}}\,\) . Theo bài ra ta có

\(\dfrac{{4 - {m^2} - 2}}{{4 - m}} =  - 1 \) \(\Rightarrow  - {m^2} + 2 = m - 4 \Leftrightarrow {m^2} + m - 6 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m =  - 3\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)

Vậy có một giá trị của \(m\) thỏa mãn.