Có bao nhiêu bộ ba số thực \(\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau 

 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{3^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{{.9}^{\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{{.27}^{\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = {3^6}}\\
{x.{y^2}.{z^3} = 1}
\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{3^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{.9^{\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{.27^{\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = {3^6}\\ \Leftrightarrow {3^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{.3^{2.\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{.3^{3.\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = {3^6}\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^2}}} + 2.\sqrt[3]{{{y^2}}} + 3.\sqrt[3]{{{z^2}}} = 6\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\sqrt[3]{{{x^2}}} + 2.\sqrt[3]{{{y^2}}} + 3.\sqrt[3]{{{z^2}}}\\ = \sqrt[3]{{{x^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}} + \sqrt[3]{{{y^2}}} + \sqrt[3]{{{z^2}}} + \sqrt[3]{{{z^2}}} + \sqrt[3]{{{z^2}}}\\ \ge 6.\sqrt[6]{{\sqrt[3]{{{x^2}}}.{{\left( {\sqrt[3]{{{y^2}}}} \right)}^2}.{{\left( {\sqrt[3]{{{z^2}}}} \right)}^3}}}\\ = 6.\sqrt[6]{{\sqrt[3]{{{{\left( {x.{y^2}.{z^3}} \right)}^2}}}}} = 6\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt[3]{{{x^2}}} = \sqrt[3]{{{y^2}}} = \sqrt[3]{{{z^2}}} = 1\\x.{y^2}.{z^3} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = {y^2} = {z^2} = 1\\x.{y^2}.{z^3} = 1\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \left( {x;y;z} \right) \in \left\{ {\left( { - 1; - 1; - 1} \right);\left( { - 1;1; - 1} \right);\left( {1; - 1;1} \right);\left( {1;1;1} \right)} \right\}\).

Vậy có 4 bộ số thực \(\left( {x;y;z} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.