Câu hỏi:
2 năm trước
Cho tứ diện \(ABCD\) có thể tích bằng \(18\). Gọi \({A_1}\) là trọng tâm của tam giác \(BCD\); \(\left( P \right)\) là mặt phẳng qua \(A\) sao cho góc giữa \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\) bằng \({60^0}\). Các đường thẳng qua \(B,\,\,C,\,\,D\) song song với \(A{A_1}\) cắt \(\left( P \right)\) lần lượt tại \({B_1},\,\,{C_1},\,\,{D_1}\). Thể tích khối tứ diện \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) bằng?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Theo bài ra ta có \({A_1}\) là trọng tâm tam giác \(BCD\) nên \(A\) cũng là trọng tâm \(\Delta {B_1}{C_1}{D_1}\).
Do đó \({V_{ABCD}} = 3{V_{A.{A_1}BC}} = 3{V_{B.A{A_1}C}}\) và \({V_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = 3{V_{{A_1}A{B_1}{C_1}}} = 3{V_{{B_1}A{A_1}{C_1}}}\).
Mặt khác do quan hệ song song nên ta có: \(d\left( {B;\left( {A{A_1}C{C_1}} \right)} \right) = d\left( {B;\left( {A{A_1}C{C_1}} \right)} \right)\) và \({S_{\Delta A{A_1}C}} = {S_{\Delta A{A_1}{C_1}}}\) nên suy ra \({V_{B.A{A_1}C}} = {V_{{B_1}.A{A_1}{C_1}}}\) .
Vậy \({V_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = {V_{ABCD}} = 18\).
