Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin x} \). Gọi \(a,b\) là các số nguyên thỏa mãn \(I = \dfrac{{{e^{\dfrac{\pi }{2}}} + a}}{b}\). Chọn kết luận đúng:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^x}\\dv = \sin xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = {e^x}dx\\v =  - \cos x\end{array} \right.\) \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin xdx}  = \left. { - {e^x}\cos x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx}  = 1 + \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {e^x}\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = {e^x}dx\\v = \sin xdx\end{array} \right.\)

Khi đó \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\cos xdx}  = \left. {{e^x}\sin x} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin xdx}  = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} - \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{e^x}\sin xdx}  = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} - I\)

Do đó \(I = 1 + {e^{\dfrac{\pi }{2}}} - I \Leftrightarrow 2I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} + 1 \Leftrightarrow I = \dfrac{{{e^{\dfrac{\pi }{2}}} + 1}}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\)

Quan sát các đáp án ta thấy đáp án A thỏa mãn.