Câu hỏi:
2 năm trước
Cho tam giác nhọn \(ABC\) hai đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H\). Biết \(HD:HA = 1:2\). Tính \(\tan B.\tan C\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có: \(\tan B = \dfrac{{AD}}{{BD}};\tan C = \dfrac{{AD}}{{CD}}\).
Suy ra \(\tan B.\tan C = \dfrac{{A{D^2}}}{{BD.CD}}\) (1)
\(\widehat {HBD} = \widehat {CAD}\) (cùng phụ với \(\widehat {ACB}\)); \(\widehat {HDB} = \widehat {ADC} = {90^0}\).
Do đó \(\Delta BDH \backsim \Delta ADC\) (g.g), suy ra \(\dfrac{{DH}}{{DC}} = \dfrac{{BD}}{{AD}}\), do đó \(BD.DC = DH.AD\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(\tan B.\tan C = \dfrac{{A{D^2}}}{{DH.AD}} = \dfrac{{AD}}{{DH}}\) (3).
Theo giả thiết \(\dfrac{{HD}}{{AH}} = \dfrac{1}{2}\) suy ra \(\dfrac{{HD}}{{AH + HD}} = \dfrac{1}{{2 + 1}}\) hay \(\dfrac{{HD}}{{AD}} = \dfrac{1}{3}\), suy ra \(AD = 3HD\).
Thay vào (3) ta được: \(\tan B.\tan C = \dfrac{{3HD}}{{DH}} = 3\).
Hướng dẫn giải:
+ Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác của góc nhọn
+ Tam giác đồng dạng
+ Tính chất dãy tỉ số bằng nhau
