Cho số phức $z = \left( {m + 3} \right) + \left( {{m^2} - m - 6} \right)i$ với $m \in \mathbb{R}.$ Gọi $\left( P \right)$ là tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ trong mặt phẳng tọa độ. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right)$ và trục hoành bằng

Ta có $z = \left( {m + 3} \right) + \left( {{m^2} - m - 6} \right)i$ được biểu diễn bởi điểm $M\left( {x;y} \right)$ với $\left\{ \begin{array}{l}x = m + 3\\y = {m^2} - m - 6\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = x - 3\\y = {\left( {x - 3} \right)^2} - \left( {x - 3} \right) - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = x - 3\\y = {x^2} - 7x + 6\end{array} \right.$.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức $z$ là parabol $\left( P \right):y = {x^2} - 7x + 6$

Hoành độ giao điểm của parabol $\left( P \right)$ với trục hoành là ${x^2} - 7x + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 6\end{array} \right.$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right)$ và trục hoành bằng

$S = \int\limits_1^6 {\left| {{x^2} - 7x + 6} \right|dx}  = \left| {\int\limits_1^6 {\left( {{x^2} - 7x + 6} \right)dx} } \right| = \dfrac{{125}}{6}$