Cho số nguyên dương \(n\) thỏa mãn điều kiện \(720\left( {C_7^7 + C_8^7 + ....C_n^7} \right) = \dfrac{1}{{4032}}A_{n + 1}^{10}\). Hệ số của \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^n}\left( {x \ne 0} \right)\) bằng

+ Sử dụng công thức \(C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}\), ta có

 \(\begin{array}{l}C_{n + 1}^8 = C_n^8 + C_n^7\\C_n^8 = C_{n - 1}^7 + C_{n - 1}^8\\C_{n - 1}^8 = C_{n - 2}^7 + C_{n - 2}^8\\...\\C_9^8 = C_8^8 + C_8^7\\C_8^8 = C_8^8\end{array}\)

Cộng vế với vế ta được \(C_{n + 1}^8 + C_n^8 + C_{n - 1}^8 + ... + C_9^8 + C_8^8 = C_n^8 + C_n^7 + C_{n - 1}^8 + C_{n - 1}^7 + ... + C_8^8 + C_8^7 + C_8^8\)

Thu gọn ta được \(C_8^8 + C_8^7 + ... + C_n^7 = C_{n + 1}^8\)  mà \(C_8^8 = C_7^7 = 1\) nên \(C_7^7 + C_8^7 + ... + C_n^7 = C_{n + 1}^8\)

Từ đó ta có \(720\left( {C_7^7 + C_8^7 + ....C_n^7} \right) = \dfrac{1}{{4032}}A_{n + 1}^{10}\)\( \Leftrightarrow 720.C_{n + 1}^8 = \dfrac{1}{{4032}}A_{n + 1}^{10} \Rightarrow 720.\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{8!\left( {n - 7} \right)!}} = \dfrac{1}{{4032}}\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 9} \right)!}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{56}}\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 9} \right)!\left( {n - 8} \right)\left( {n - 7} \right)}} = \dfrac{1}{{4032}}.\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 9} \right)!}}\,\,\,\,\,\,\left( {n > 9} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {n - 7} \right)\left( {n - 8} \right) = 72 \Leftrightarrow {n^2} - 15n + 56 = 72\\ \Leftrightarrow {n^2} - 15n - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n =  - 1\,\,\left( {ktm} \right)\\n = 16\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(n = 16\) ta có \({\left( {x - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{16}} = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k.{x^{16 - k}}{{\left( { - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k.{x^{16 - k}}{x^{ - 2k}}{{\left( { - 1} \right)}^k} = \sum\limits_{k = 0}^{16} {C_{16}^k.{x^{16 - 3k}}{{\left( { - 1} \right)}^k}} } \)

Số hạng chứa \({x^7}\) ứng với \(16 - 3k = 7 \Rightarrow k = 3\)

Nên hệ số cần tìm là \(C_{16}^3.{\left( { - 1} \right)^3} =  - 560.\)