Cho phương trình \({\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x\cos x = 1\), số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;3\pi } \right]\) của phương trình trên là:

TH1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \Rightarrow {\sin ^2}x = 1\), khi đó phương trình trở thành \(1 = 1\) (luôn đúng)

\( \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) là nghiệm của phương trình.

\(x \in \left[ {0;3\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{\pi }{2} + k\pi  \le 3\pi  \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{2} \le k \le \dfrac{5}{2}\,\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).

TH2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} + \sqrt 3 \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} \Leftrightarrow {\tan ^2}x + \sqrt 3 \tan x = 1 + {\tan ^2}x \Leftrightarrow \tan x = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

\(x \in \left[ {0;3\pi } \right] \Rightarrow 0 \le \dfrac{\pi }{6} + k\pi  \le 3\pi  \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{6} \le k \le \dfrac{{17}}{6}\,\left( {k \in Z} \right) \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1;2} \right\}\).

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thỏa mãn yêu cầu bài toán.