Cho hình chóp S.ABCD có đáy \({\rm{ABCD}}\) là hình vuông cạnh \({\rm{a}},{\rm{SA}}\) vuông góc với mặt phẳng \(({\rm{ABCD}})\) và \({\rm{SA}} = {\rm{a}}\). Gọi \({\rm{E}}\) là trung điểm của cạnh \({\rm{CD}}\). Tính theo a khoảng cách từ điểm \(S\) đến đường thẳng \({\rm{BE}}\)

Vì \({\rm{SA}} \bot ({\rm{ABCD}})\), trong mặt phẳng \(({\rm{ABCD}})\) nếu dựng \({\rm{AH}} \bot {\rm{BE}}\) tại \({\rm{H}}\) thì \({\rm{SH}} \bot {\rm{BE}}\) (định lí 3 đường vuông góc).

Tức là khoảng cách từ điểm \(S\) đến đường thẳng $BE$ bằng đoạn \({\rm{SH}}\). Ta có:

Mà \(BE = \sqrt {B{C^2} + C{E^2}} = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

Nên \({\rm{AH}} = \dfrac{{{{\rm{a}}^2}}}{{{\rm{BE}}}} = \dfrac{{2{\rm{a}}}}{{\sqrt 5 }}\), mà \(\Delta {\rm{SAH}}\) vuông tại \({\rm{A}}\), nên:

\({\rm{SH}} = \sqrt {{\rm{S}}{{\rm{A}}^2} + {\rm{A}}{{\rm{H}}^2}} = \sqrt {{{\rm{a}}^2} + \dfrac{{4{{\rm{a}}^2}}}{5}} = \dfrac{{3{\rm{a}}}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{3{\rm{a}}\sqrt 5 }}{5}\)

Vậy \(d(S,BE) = \dfrac{{3a\sqrt 5 }}{5}.\)