Cho phương trình \(m{\ln ^2}\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2 - m} \right)\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0\) \(\left( 1 \right)\). Tập tất cả giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có các nghiệm, trong đó có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(0 < {x_1} < 2 < 4 < {x_2}\) là khoảng \(\left( {a; + \infty } \right)\). Khi đó, \(a\) thuộc khoảng

\(m{\ln ^2}\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2 - m} \right)\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0\)

Điều kiện: \(x >  - 1\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}m{\ln ^2}\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2 - m} \right)\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow m{\ln ^2}\left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2} \right)\ln \left( {x + 1} \right) + m\ln \left( {x + 1} \right) - \left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow m\ln \left( {x + 1} \right)\left[ {\ln \left( {x + 1} \right) + 1} \right] - \left( {x + 2} \right)\left[ {\ln \left( {x + 1} \right) + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\ln \left( {x + 1} \right) + 1} \right]\left[ {m\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\ln \left( {x + 1} \right) + 1 = 0\\m\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = {e^{ - 1}}\\m\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {e^{ - 1}} - 1 < 0\,\,\,\left( L \right)\\m\ln \left( {x + 1} \right) - x - 2 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(m = 0\) thì phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm \(x =  - 2 <  - 1\left( L \right)\) nên không thỏa bài toán.

Với \(m \ne 0\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{x + 2}} = \dfrac{1}{m}\).

Xét \(f\left( x \right) = \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{x + 2}}\) có \(f'\left( x \right) = \dfrac{{\dfrac{{x + 2}}{{x + 1}} - \ln \left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow x = {x_0} \in \left( {2;3} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{\ln \left( {1 + x} \right)}}{{x + 2}} = 0\) nên ta có bảng biến thiên trên \(\left( { - 1; + \infty } \right)\) như sau:

Để phương trình có nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa \(0 < {x_1} < 2 < 4 < {x_2}\) thì \(0 < \dfrac{1}{m} < \dfrac{{\ln 5}}{6} \Leftrightarrow m > \dfrac{6}{{\ln 5}} \approx 3,728\)

Suy ra \(a = \dfrac{6}{{\ln 5}} \in \left( {3,7;3,8} \right)\).