Câu hỏi:
2 năm trước
Cho phương trình $4{z^4} + m{z^2} + 4 = 0$ trong tập số phức và \(m\) là tham số thực. Gọi \({z_1},{\rm{ }}{z_2},{\rm{ }}{z_3},{\rm{ }}{z_4}\) là bốn nghiệm của phương trình đã cho. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(\left( {z_1^2 + 4} \right)\left( {z_2^2 + 4} \right)\left( {z_3^2 + 4} \right)\left( {z_4^2 + 4} \right) = 324\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Đặt \(t = {z^2}\), phương trình trở thành \(4{t^2} + mt + 4 = 0\) có hai nghiệm \({t_1},{\rm{ }}{t_2}\).
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = - \dfrac{m}{4}\\{t_1}.{t_2} = 1\end{array} \right.$ .
Do vai trò của các nghiệm như nhau nên ta giả sử ta có $z_1^2 = z_2^2 = {t_1}$, $z_3^2 = z_4^2 = {t_2}$.
Yêu cầu bài toán $ \Leftrightarrow {\left( {{t_1} + 4} \right)^2}{\left( {{t_2} + 4} \right)^2} = 324 \Leftrightarrow {\left[ {{t_1}{t_2} + 4\left( {{t_1} + {t_2}} \right) + 16} \right]^2} = 324$
$ \Leftrightarrow {\left( { - m + 17} \right)^2} = {18^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - m + 17 = 18\\ - m + 17 = - 18\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 35\end{array} \right.$ .
Hướng dẫn giải:
- Đặt \(t = {z^2}\), đưa phương trình về ẩn \(t\).
- Biến đổi đẳng thức bài cho về đẳng thức liên quan đến các nghiệm \({t_1},{t_2}\) và sử dụng định lý Vi-et đưa về phương trình ẩn \(m\).
- Giải phương trình và kết luận.
