Cho mặt cầu tâm \(O\)  bán kính \(R\). Xét mặt phẳng \(\left( P \right)\) thay đổi cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn \(\left( C \right)\). Hình nón \(N\) có đỉnh \(S\) nằm trên mặt cầu, có đáy là đường tròn \(\left( C \right)\) và có chiều cao \(h\left( {h > R} \right)\). Tìm \(h\) để thể tích khối nón được tạo nên bởi \(\left( N \right)\) có giá trị lớn nhất.

Ta có: Gọi bán kính $\left( C \right)$ với tâm là $I$ là $r$ thì dễ có $S$ phải thuộc $OI$ và :

$\begin{array}{l}OI = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  \to h = \sqrt {{R^2} - {r^2}}  + R\\V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}(\sqrt {{R^2} - {r^2}}  + R)\end{array}$

Tới đây ta sẽ khảo sát hàm số:

\(\begin{array}{l}
f\left( r \right) = {r^2}\left( {\sqrt {{R^2} - {r^2}} + R} \right)\\
= {r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}R\\
\Rightarrow f'\left( r \right) = \left( {{r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}R} \right)'\\
= \left( {{r^2}\sqrt {{R^2} - {r^2}} } \right)' + \left( {{r^2}R} \right)'\\
= \left( {{r^2}} \right)'\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}\left( {\sqrt {{R^2} - {r^2}} } \right)' + 2rR\\
= 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} + {r^2}.\frac{{ - 2r}}{{2\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2rR\\
= 2r\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^3}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2rR\\
= r\left( {2\sqrt {{R^2} - {r^2}} - \frac{{{r^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} + 2R} \right)
\end{array}\)

$f'(r) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {{R^2} - {r^2}}  + 2{\rm{R}} - \dfrac{{{r^2}}}{{\sqrt {{R^2} - {r^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 2({R^2} - {r^2}) - {r^2} + 2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}}  = 0$

$ \Leftrightarrow {(2{{\rm{R}}^2} - 3{{\rm{r}}^2})^2} = {(2{\rm{R}}\sqrt {{R^2} - {r^2}} )^2}$

$\Leftrightarrow {r^2} = \dfrac{8}{9}{R^2} \to h = \dfrac{{4{\rm{R}}}}{3}.$