Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$, biết $SA \bot \left( {ABC} \right)$, $BC = 2a,\widehat {BAC} = {120^0}$, góc giữa mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng ${45^0}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

Gọi $E$ là trung điểm của $BC$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AE \bot BC\\SA \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BC \bot SE$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AE \bot BC\\SE \bot BC\\\left( {ABC} \right) \cap \left( {SBC} \right) = BC\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \angle SEA = {45^0}.$

$\Rightarrow \Delta SAE$ vuông cân tại $A \Rightarrow SA = AE$.

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $\widehat A = {120^0},BC = 2a$,

$AE$ là tia phân giác của $\widehat A$ $\Rightarrow \widehat {BAE} = {60^0}$.

Tam giác vuông $AEB$ có $\widehat {BAE} = {60^0},BE = \dfrac{1}{2}BC = a \Rightarrow AE = \dfrac{{BE}}{{\tan {{60}^0}}} = \dfrac{{BE}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = SA$.

$\Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.SA.\dfrac{1}{2}AE.BC = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.2a = \dfrac{{{a^3}}}{9}$.