Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a\sqrt 3 \), \(BC = 2a\), đường thẳng \(AC'\) tạo với mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\) một góc \(30^\circ \). Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho bằng

Trong mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH \bot BC\left( {H \in BC} \right)\).

Lại có \(AH \bot BB'\) (do \(BB \bot \left( {ABC} \right)\) suy ra \(AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\).

Suy ra \(\widehat {\left( {AC',\left( {BCC'B'} \right)} \right)} = \widehat {AC'H} = {30^0}\).

Ta có: \(AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}}  = a,AH = \dfrac{{AB.AC}}{{BC}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

\(AC' = \dfrac{{AH}}{{\sin \widehat {AC'H}}} = a\sqrt 3 \) \( \Rightarrow CC' = \sqrt {AC{'^2} - A{C^2}}  = a\sqrt 2 \).

Gọi \(R\) là bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, khi đó \(R = \sqrt {{r^2} + \dfrac{{{h^2}}}{4}} \) với \(r = \dfrac{{BC}}{2} = a\) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông \(ABC\) và \(h = CC' = a\sqrt 2 \)

Do đó \(R = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2} \Rightarrow S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\dfrac{{6{a^2}}}{4} = 6\pi {a^2}\).