Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Biết \(AC = a\sqrt 2 \), cạnh \(SC\) tạo với đáy một góc \({60^0}\) và diện tích tứ giác \(ABCD\) là \(\dfrac{{3{a^2}}}{2}\). Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên cạnh \(SC\). Tính thể tích khối chóp \(H.ABCD\).
Trả lời bởi giáo viên
Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AC\)là hình chiếu của $SC$ trên \(\left( {ABCD} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC;AC} \right)} = {60^0}\)
\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC \Rightarrow \Delta SAC\) vuông tại $A$ và $\widehat {SCA} = {60^0}$
Xét tam giác vuông $SAC$ có: \(SA = AC.\tan 60 = a\sqrt 2 .\sqrt 3 = a\sqrt 6 ;\,SC = \dfrac{{AC}}{{{\rm{cos60}}}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{\dfrac{1}{2}}} = 2a\sqrt 2 \)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $SAC$ có: \(A{C^2} = HC.SC \Rightarrow \dfrac{{HC}}{{SC}} = \dfrac{{A{C^2}}}{{S{C^2}}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{8{a^2}}} = \dfrac{1}{4}\)
Trong $\left( {SAC} \right)$ kẻ \(HK//SA \Rightarrow HK \bot \left( {ABCD} \right)\)
Ta có: \(\dfrac{{HK}}{{SA}} = \dfrac{{HC}}{{SC}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow HK = \dfrac{1}{4}SA = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}\)
Vậy \({V_{H.ABCD}} = \dfrac{1}{3}HK.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{4}.\dfrac{{3{a^2}}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{8}\)
Hướng dẫn giải:
- Xác định góc giữa \(SC\) và mặt phẳng đáy: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.
- Dựng đường cao \(HK\) của hình chóp \(H.ABCD\) và tính độ dài \(HK\) dựa vào định lý Ta-let.
- Tính thể tích khối chóp theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).