Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $2a.$  Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp $S.ABCD$ bằng $\dfrac{{4{a^3}}}{3}$ . Gọi $\alpha$  là góc giữa $SC$ và mặt đáy, tính $\tan \alpha .$

Gọi $H$ là trung điểm của $AB \Rightarrow SH \bot AB$ (do $\Delta SAB$ cân tại $S$)

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \bot AB;\,\,\,SH \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$

Hay $H$ là hình chiếu của $S$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right) \Rightarrow CH$ là hình chiều của $SC$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$

Do đó góc giữa $SC$ và mặt đáy là góc $SCH.$

Ta có ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} \Leftrightarrow \dfrac{{4{a^3}}}{3} = \dfrac{1}{3}SH.4{a^2} \Leftrightarrow SH = a$.

Xét tam giác $BHC$ vuông tại $B$, theo định lý Pytago ta có $HC = \sqrt {B{H^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = a\sqrt 5$

Xét tam giác $SHC$ vuông tại $H$ có $\tan \angle SCH = \dfrac{{SH}}{{HC}} = \dfrac{a}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}$.