Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh bằng \(2a.\) Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Biết thể tích khối chóp \(S.ABCD\) bằng \(\dfrac{{4{a^3}}}{3}\) . Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(SC\) và mặt đáy, tính \(\tan \alpha .\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow SH \bot AB\) (do \(\Delta SAB\) cân tại \(S\))
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \bot AB;\,\,\,SH \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Hay \(H\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right) \Rightarrow CH\) là hình chiều của \(SC\) lên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\)
Do đó góc giữa \(SC\) và mặt đáy là góc \(SCH.\)
Ta có \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} \Leftrightarrow \dfrac{{4{a^3}}}{3} = \dfrac{1}{3}SH.4{a^2} \Leftrightarrow SH = a\).
Xét tam giác \(BHC\) vuông tại \(B\), theo định lý Pytago ta có \(HC = \sqrt {B{H^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}} = a\sqrt 5 \)
Xét tam giác \(SHC\) vuông tại \(H\) có \(\tan \angle SCH = \dfrac{{SH}}{{HC}} = \dfrac{a}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\).
Hướng dẫn giải:
Xác định đường cao bằng kiến thức \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot \left( Q \right)\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\\a \bot d;\,a \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow a \bot \left( Q \right)\)
Góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là góc giữa đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(d'\) là hình chiếu của \(d\) lên mặt phẳng \(\left( P \right).\)
Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}S.h\)
