Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD $ là hình vuông cạnh bằng \(10\). Cạnh bện $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SC = 10\sqrt 5 $. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $CD.$ Tính khoảng cách giữa BD và MN.

Gọi \(P\) là trung điểm \(BC\) và \(E = NP \cap AC\), suy ra \(PN\parallel BD\) nên \(BD\parallel \left( {MNP} \right)\).

Do đó

\(d\left( {BD;MN} \right) = d\left( {BD;\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {MNP} \right)} \right)\)

Ta có \(PE//BO,P\) là trung điểm của \(BC\) nên \(E\) là trung điểm của \(OC\), do đó \(OE = \dfrac{1}{3}AE\)

Mà \(AO \cap \left( {MNP} \right) = E \Rightarrow d\left( {O;\left( {MNP} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right).\)

Kẻ \(AK \bot ME\,\,\left( 1 \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\\NP//BD \Rightarrow NP \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow NP \bot AK\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AK \bot \left( {MNP} \right)\).  Khi đó \(d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right) = AK.\)

Tính được \(SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}}  = 10\sqrt 3  \Rightarrow MA = 5\sqrt 3 ;\,\,AE = \dfrac{3}{4}AC = \dfrac{{15\sqrt 2 }}{2}\)

Tam giác vuông \(MAE\), có \(AK = \dfrac{{MA.AE}}{{\sqrt {M{A^2} + A{E^2}} }} = 3\sqrt 5 .\) Vậy \(d\left( {BD;MN} \right) = \dfrac{1}{3}AK = \sqrt 5 \).