Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,$ tam giác $SAD $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $SA$ và $BD.$

Gọi $I$ là trung điểm của $AD$ nên suy ra $SI \bot AD \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)$ và \(SI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Kẻ \(Ax\parallel BD\). Do đó \(d\left( {BD;SA} \right) = d\left( {BD;\left( {SAx} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {SAx} \right)} \right) = 2d\left( {I;\left( {SAx} \right)} \right)\) 

(vì \(DI \cap \left( {SAx} \right) = A\) và \(IA = \dfrac{1}{2}DA\))

Kẻ \(IE \bot Ax\), kẻ \(IK \bot SE\,\,\left( 1 \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}Ax \bot SI\\Ax \bot IE\end{array} \right. \Rightarrow Ax \bot \left( {SIE} \right) \Rightarrow Ax \bot IK\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow IK \bot \left( {SAx} \right)\). Khi đó \(d\left( {I;\left( {SAx} \right)} \right) = IK\)

Gọi $F$ là hình chiếu của \(I\) trên \(BD\), ta dễ dàng chứng minh được \(\Delta IAE = \Delta IDF\left( {ch - gn} \right) \) \(\Rightarrow IE = IF = \dfrac{{AO}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\)

Tam giác vuông \(SIE\), có \(IK = \dfrac{{SI.IE}}{{\sqrt {S{I^2} + I{E^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\)

Vậy \(d\left( {BD;SA} \right) = 2IK = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}.\)