Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp $S.ABC$ đáy $ABC$ là tam giác vuông cân với $BA = BC = a$, $SA = a$ và vuông góc với đáy, cosin góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Cách 1:
Trong $\Delta SAC$, vẽ $AH \bot SC$
Gọi $M$ là trung điểm của $AC$, vẽ $MK \bot SC$ (1)
Vì $\Delta BAC$ vuông cân tại $B$ $ \Rightarrow $ $BM \bot AC$
Theo giả thiết $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BM$
Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BM \bot AC\\BM \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BM \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BM \bot SC$ (2)
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow $ $SC \bot \left( {BMK} \right) \Rightarrow SC \bot BK$ (3)
Từ (1) và (3) $ \Rightarrow $ $\left\{ \begin{array}{l}MK \bot SC;\,\,MK \subset \left( {SAC} \right)\\SC \bot BK;\,\,BK \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right.$
$ \Rightarrow $ $\left( {\left( {SAC} \right);\,\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {BK;\,MK} \right) = \widehat {BKM}$
Vì tam giác $SBC$ vuông tại $B$, nên $\dfrac{1}{{B{K^2}}} = \dfrac{1}{{B{C^2}}} + \dfrac{1}{{B{A^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{2{a^2}}} = \dfrac{3}{{2{a^2}}}\,\,\, \Rightarrow BK = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}$
Vì $\Delta MCK \sim \Delta SCA$ $ \Rightarrow $ $\dfrac{{MK}}{{SA}} = \dfrac{{MC}}{{SC}} \Leftrightarrow MK = \dfrac{{MC.SA}}{{SC}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.a}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}$
Theo CMT, ta có $BM \bot \left( {SAC} \right)$ $ \Rightarrow $ $BM \bot MK$ $ \Rightarrow $ $\Delta BMK$ vuông tại $M$
Do đó, $\cos \widehat {BMK} = \dfrac{{MK}}{{BK}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}:\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{1}{2}$
Hướng dẫn giải:
- Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.
- Xác định các đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng mà vuông góc với giao tuyến.
- Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng trên.
- Tính toán dựa vào các kiến thức đã biết ở lớp dưới.
Giải thích thêm:
Cách 2:
Nhận xét: \(\Delta SBC\) vuông tại \(B\) và \(SB = \sqrt {S{B^2} + A{B^2}} = a\sqrt 2 \) .
Gọi $M$ là trung điểm của $AC$.Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BM \bot AC\\BM \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BM \bot \left( {SAC} \right)\) và \(MC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) .
Suy ra :Hình chiếu của \(\Delta SBC\) là \(\Delta SMC\).Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$.
Khi đó $\cos \alpha = \dfrac{{{S_{\Delta SMC}}}}{{{S_{\Delta SBC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}SA.MC}}{{\dfrac{1}{2}BC.SB}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}a.\dfrac{1}{2}a\sqrt 2 }}{{\dfrac{1}{2}a.a\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{2}$ .
Câu hỏi khác
- Đề thi kiểm tra 15 phút chương8: Qquan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra 15 phút chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - đề số 2 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề thi kiểm tra 1 tiết chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 1 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề thi kiểm tra 1 tiết chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - Đề số 3 Toán 11 có lời giải chi tiết
- Đề kiểm tra 15 phút chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian - đề số 3 Toán 11 có lời giải chi tiết
