Cho hàm số $y = {x^3} - 6mx + 4$ có đồ thị $\left( {{C_m}} \right)$. Gọi ${m_0}$ là giá trị của $m$ để đường thẳng đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của $\left( {{C_m}} \right)$ cắt đường tròn tâm $I\left( {1;0} \right)$, bán kính $\sqrt 2$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho tam giác $IAB$ có diện tích lớn nhất. Chọn khẳng định đúng?

Ta có: $y' = 3{x^2} - 6m \Rightarrow y = y'.\left( {\dfrac{1}{3}x} \right) - 4mx + 4$.

Do đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là $y =  - 4mx + 4 \Leftrightarrow 4mx + y - 4 = 0$.

Diện tích tam giác $IAB$ là ${S_{IAB}} = \dfrac{1}{2}IA.IB.\sin \widehat {AIB} = \dfrac{1}{2}.\sqrt 2 .\sqrt 2 .\sin \widehat {AIB} = \sin \widehat {AIB} \le 1$

$\Rightarrow {S_{IAB}}$ đạt GTLN khi $\sin \angle AIB = 1 \Leftrightarrow IA \bot IB$ hay tam giác $IAB$ vuông cân tại $I$ và $IA = IB = \sqrt 2$$\Rightarrow AB = 2 \Rightarrow d\left( {I,AB} \right) = \dfrac{1}{2}AB = 1.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\left| {4m.1 + 0 - 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {4m} \right)}^2} + {1^2}} }} = 1 \Leftrightarrow \left| {4m - 4} \right| = \sqrt {{{\left( {4m} \right)}^2} + {1^2}} \\ \Leftrightarrow 16{m^2} - 32m + 16 = 16{m^2} + 1 \Leftrightarrow m = \dfrac{{15}}{{32}} \in \left( {0;1} \right)\end{array}$