Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) =  - 1\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = m.\) Có bao nhiêu giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right) + 2}}\) có duy nhất một tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right) + 2}} = \dfrac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } 2}} = \dfrac{1}{{ - 1 + 2}} = 1 \Rightarrow \) Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right) + 2}}\) có TCN \(y = 1\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right) + 2}} = \dfrac{1}{{\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } 2}} = \dfrac{1}{{m + 2}}\).

Để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{1}{{f\left( x \right) + 2}}\) có duy nhất một tiệm cận ngang thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{1}{{f\left( x \right) + 2}}\) hoặc là không xác định hoặc là bằng 1.

Khi đó \(\left[ \begin{array}{l}m + 2 = 0\\m + 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\m =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy có 2 giá trị thực của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.