Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)  và có bảng biến thiên như sau

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) sao cho phương trình \(2f\left( {\sin x - \cos x} \right) = m - 1\) có hai nghiệm
phân biệt trên khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{{3\pi }}{4}} \right)?\)

Ta có \(\sin x - \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)\) mà \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{4};\dfrac{{3\pi }}{4}} \right) \Rightarrow \sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \in \left( { - 1;1} \right)\)

Đặt \(\sin x - \cos x = t\,\) thì \(t \in \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)

Đưa về bài toán tìm \(m\) để phương trình \(2f\left( t \right) = m - 1\) có hai nghiệm phân biệt trên khoảng \(\left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)\)

Ta có \(2f\left( t \right) = m - 1 \Leftrightarrow f\left( t \right) = \dfrac{{m - 1}}{2}\)

Từ BBT ta suy ra \( - 4 < \dfrac{{m - 1}}{2} < 3 \Leftrightarrow  - 8 < m - 1 < 6 \Leftrightarrow  - 7 < m < 7\)  mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 6; - 5;...;0;1;2;...;6} \right\}\)

Nên có \(13\) giá trị của \(m\) thỏa mãn đề bài.