Cho hàm số \(y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình dưới đây

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left( { - 5;5} \right)\) để phương trình \({f^2}(x) - (m + 4)\left| {f(x)} \right| + 2m + 4 = 0\) có  \(6\) nghiệm phân biệt

Ta có \({f^2}\left( x \right) - \left( {m + 4} \right)\left| {f\left( x \right)} \right| + 2m + 4 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {\left| {f\left( x \right)} \right|^2} - \left( {m + 4} \right)\left| {f\left( x \right)} \right| + 2m + 4 = 0\)

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left| {f\left( x \right)} \right| = 2\\
\left| {f\left( x \right)} \right| = m + 2
\end{array} \right.$

Dựng đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) ta được:

Dễ thấy phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = 2\) có \(4\) nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3},{x_4}\) nên để phương trình đã cho có \(6\) nghiệm phân biệt thì phương trình \(\left| {f\left( x \right)} \right| = m + 2\) phải có \(2\) nghiệm phân biệt khác các nghiệm trên.

Do đó đường thẳng \(y = m + 2\) cắt đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) tại \(2\) điểm phân biệt.

Từ hình vẽ ta có \(\left[ \begin{array}{l}m + 2 > 4\\m + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\\m =  - 2\end{array} \right.\).

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) và \(m \in \left( { - 5;5} \right)\) nên \(m \in \left\{ { - 2;3;4} \right\}\).

Vậy có \(3\) giá trị thỏa mãn.