Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định là liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 1} \right)\) và \(f\left( 2 \right) = 1\). Khi đó số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = {\left[ {f\left( {{x^2}} \right)} \right]^2}\) là

Chỉ được điền các số nguyên, phân số dạng a/b

Đáp án:

Từ giả thiết ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 5\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Bảng biến thiên của \(y = f\left( x \right)\)

Từ BBT suy ra \(f\left( x \right) > 0\forall x \ge 0\) nên \(f\left( {{x^2}} \right) > 0\forall x \in \mathbb{R}\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = {\left[ {f\left( {{x^2}} \right)} \right]^2}\) ta có:

\(\begin{array}{l}g'\left( x \right) = 2.\left[ {f\left( {{x^2}} \right)} \right]'.f\left( {{x^2}} \right)\\ = 2.2x.f'\left( {{x^2}} \right)f\left( {{x^2}} \right) = 4x.f\left( {{x^2}} \right).f'\left( {{x^2}} \right)\end{array}\)

\( = 4x.\left( {{x^2} - 2} \right).\left( {{x^2} + 5} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)f\left( {{x^2}} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \sqrt 2 \\x =  - \sqrt 2 \end{array} \right.\)

Bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\):

Từ bảng biến thiên trên ta được hàm số \(g\left( x \right)\) có 3 điểm cực trị.