Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ.

Diện tích hai phần $A$ và $B$ lần lượt là $\dfrac{{16}}{3}$ và $\dfrac{{63}}{4}.$ Tính $\int\limits_{ - 1}^{\dfrac{3}{2}} {f\left( {2x + 1} \right)dx}$.

Xét  $\int\limits_{ - 1}^{\dfrac{3}{2}} {f\left( {2x + 1} \right)dx}$. Đặt $2x + 1 = t \Leftrightarrow 2dx = dt \Leftrightarrow dx = \dfrac{{dt}}{2}$.

Đổi cận:$\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 \Rightarrow t =  - 1\\x = \dfrac{3}{2} \Rightarrow t = 4\end{array} \right.$.

Khi đó ta có $\int\limits_{ - 1}^{\dfrac{3}{2}} {f\left( {2x + 1} \right)dx}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^4 {f\left( t \right)dt}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^4 {f\left( x \right)dx}$$= \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} } \right)$

Từ hình vẽ ta có $\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  = \dfrac{{16}}{3};\,\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx}  =  - \dfrac{{63}}{4}$

Nên $\int\limits_{ - 1}^{\dfrac{3}{2}} {f\left( {2x + 1} \right)dx}  = \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} } \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{16}}{3} - \dfrac{{63}}{4}} \right) =  - \dfrac{{125}}{{24}}$