Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), hàm số \(y = f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Bất phương trình \(f\left( x \right) < 2x + m\) (\(m\) là tham số thực) nghiệm đúng với mọi \(x \in \left( {0;2} \right)\) khi và chỉ khi

Ta có : \(f\left( x \right) < 2x + m \Leftrightarrow f\left( x \right) - 2x < m,\forall x \in \left( {0;2} \right)\) \( \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left[ {f\left( x \right) - 2x} \right] = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right)\)

Ở đó \(g\left( x \right) = f\left( x \right) - 2x \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2\).

Quan sát đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta thấy \(f'\left( x \right) < 2,\forall x \in \left( {0;2} \right) \Rightarrow f'\left( x \right) - 2 < 0,\forall x \in \left( {0;2} \right)\)

\( \Rightarrow g'\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( {0;2} \right)\) hay hàm số \(y = g\left( x \right)\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) \( \Rightarrow g\left( x \right) \le g\left( 0 \right) = f\left( 0 \right)\).

Do đó \(m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} g\left( x \right) = f\left( 0 \right)\).