Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $f\left( {3 - \sqrt {4 - {x^2}} } \right) = m$ có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right]$. Tìm tập $S$.

Đặt $t = 3 - \sqrt {4 - {x^2}}$ $\Rightarrow 3 - t = \sqrt {4 - {x^2}}  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \le 3\\{x^2} = 4 - {\left( {3 - t} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \le 3\\{x^2} = \left( {t - 1} \right)\left( {5 - t} \right) \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow 1 \le t \le 3$

Nhận thấy với $t = 1$ thì ${x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hay với $t = 1$ thì ta chỉ tìm được đúng một nghiệm $x$ (loại)

Với $1 < t \le 3$ thì ${x^2} > 0$ nên ta sẽ tìm được hai giá trị của $x$ đối nhau.

Do đó để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn $\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right]$ thì phương trình phải có hai nghiệm phân biệt đối nhau thuộc $\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]$ và $x \ne 0$.

Dễ thấy $x \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\backslash \left\{ 0 \right\} \Rightarrow {x^2} \in \left( {0;2} \right] \Rightarrow 4 - {x^2} \in \left[ {2;4} \right)$

$\Rightarrow \sqrt {4 - {x^2}}  \in \left[ {\sqrt 2 ;2} \right) \Rightarrow 3 - \sqrt {4 - {x^2}}  \in \left( {1;3 - \sqrt 2 } \right]$

$\Rightarrow t \in \left( {1;3 - \sqrt 2 } \right] \Rightarrow f\left( t \right) \in \left( {f\left( 1 \right);f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right]$ vì $f\left( t \right)$ đồng biến trên $\left( {1;3 - \sqrt 2 } \right]$.

Phương trình đã cho có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$ phân biệt thuộc đoạn $\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right]$ thì phương trình $f\left( t \right) = m$ có nghiệm duy nhất $t \in \left( {1;3 - \sqrt 2 } \right]$

$\Rightarrow m = f\left( t \right) \in \left( {f\left( 1 \right);f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right] = \left( { - 1;f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right]$.

Vậy $S = \left( { - 1;f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right]$.