Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\)và đồ thị của hàm số như hình vẽ dưới. biết diện tích phần kẻ sọc bằng 3. Tính giá trị của biểu thức

\(T = \int\limits_1^2 {f'\left( {x + 1} \right)dx}  + \int\limits_2^3 {f\left( {x - 1} \right)dx} \)\( + \int\limits_3^4 {f\left( {2x - 8} \right)dx} \)

Chỉ điền số nguyên, phân số dạng a/b

Đáp án:

Diện tích phần kẻ sọc là

\(S = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  = 3\)

Vì \(f\left( x \right) \le 0\forall x \in \left[ { - 2;0} \right]\)\( \Rightarrow 3 = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}  = \int\limits_{ - 2}^0 {\left| { - f\left( x \right)} \right|dx} \)\( \Leftrightarrow \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx}  =  - 3\)

Đặt \(t = 2x - 8 \Rightarrow dx = \dfrac{{dt}}{2}\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 \Rightarrow t =  - 2\\x = 4 \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\)

Suy ra \(I = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( t \right)\dfrac{{dt}}{2}}  =  - \dfrac{3}{2}\)

\(T = \int\limits_1^2 {f'\left( {x + 1} \right)dx}  + \int\limits_2^3 {f'\left( {x - 1} \right)dx} \)\( + \int\limits_3^4 {f'\left( {2x - 8} \right)dx} \)

\(\begin{array}{l} = \left. {f\left( {x + 1} \right)} \right|_1^2 + \left. {f\left( {x - 1} \right)} \right|_2^3 + I\\ = f\left( 3 \right) - f\left( 2 \right) + f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) - \dfrac{3}{2}\\ = \dfrac{3}{2}\end{array}\)