Cho hàm số $y = 2{x^3} + m{x^2} - 12x - 13$ với \(m\) là tham số thực. Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn khoảng cách từ chúng đến trục tung bằng nhau.
Trả lời bởi giáo viên
Ta có $y' = 6{x^2} + 2mx - 12.$
Do $\Delta ' = {m^2} + 72 > 0,{\rm{ }}\forall m \in \mathbb{R}$ nên hàm số luôn có hai điểm cực trị \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) với \({x_1},{\rm{ }}{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(y' = 0\).
Theo định lí Viet, ta có ${x_1} + {x_2} = - \dfrac{m}{3}.$
Gọi $A\left( {{x_1};{y_1}} \right)$ và $B\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left| {{x_1}} \right| = \left| {{x_2}} \right| \Leftrightarrow {x_1} = - {x_2}\) (do \({x_1} \ne {x_2}\))
$ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 0 \Leftrightarrow - \dfrac{m}{3} = 0 \Leftrightarrow m = 0.$
Hướng dẫn giải:
- Tính \(y'\) và tìm điều kiện để \(y' = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\)
- Từ điều kiện bài cho suy ra mối quan hệ của các nghiệm \({x_1},{x_2}\)
- Sử dụng Vi-et kết hợp điều kiện tìm được tính \(m\)