Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn các điều kiện: \(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2 \), \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} ,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó giá trị \(f\left( 1 \right)\) bằng

Ta có: \(f\left( x \right).f'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right)\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} \)

\( \Rightarrow \dfrac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }} = 2x + 1 \Rightarrow \int {\dfrac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx}  = \int {\left( {2x + 1} \right)dx} \)

Tính \(\int {\dfrac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx} \) ta đặt \(\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  = t \Rightarrow 1 + {f^2}\left( x \right) = {t^2} \Rightarrow 2f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = 2tdt\) \( \Rightarrow f\left( x \right)f'\left( x \right)dx = tdt\)

Thay vào ta được \(\int {\dfrac{{f\left( x \right).f'\left( x \right)}}{{\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)} }}dx}  = \int {\dfrac{{tdt}}{t}}  = \int {dt}  = t + C = \sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  + C\)

Do đó \(\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  + C = {x^2} + x\).

\(f\left( 0 \right) = 2\sqrt 2  \Rightarrow \sqrt {1 + {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}  + C = 0 \Leftrightarrow C =  - 3\).

Từ đó:

\(\begin{array}{l}\sqrt {1 + {f^2}\left( x \right)}  - 3 = {x^2} + x \Rightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( 1 \right)}  - 3 = 1 + 1 \Leftrightarrow \sqrt {1 + {f^2}\left( 1 \right)}  = 5\\ \Leftrightarrow 1 + {f^2}\left( 1 \right) = 25 \Leftrightarrow {f^2}\left( 1 \right) = 24 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = \sqrt {24} \end{array}\)